文档更新与二叉树数据结构介绍
本次提交包括以下文档相关的更新与添加： 1. 在数学基础部分的矩阵运算文档中修正了一个LaTeX格式错误。 2. 为数据结构部分新增了一篇关于二叉树的详细文档，介绍了二叉树的基本性质、表示方式、遍历方法、二叉搜索树、平衡二叉树以及高级应用等。 3.调整了IDEA工作空间的一些设置，优化了项目在IDE中的显示和操作。 此次更新将帮助读者更好地理解和学习数据结构和数学基础中的重要概念。
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eda86234a8
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25b4324453
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@ -1,7 +1,9 @@
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<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
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<project version="4">
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<component name="ChangeListManager">
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<list default="true" id="eb8b4e81-1a37-4d94-9efb-d5d51fd6cfbd" name="更改" comment="" />
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<list default="true" id="eb8b4e81-1a37-4d94-9efb-d5d51fd6cfbd" name="更改" comment="">
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<change beforePath="$PROJECT_DIR$/.idea/workspace.xml" beforeDir="false" afterPath="$PROJECT_DIR$/.idea/workspace.xml" afterDir="false" />
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</list>
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<option name="SHOW_DIALOG" value="false" />
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<option name="HIGHLIGHT_CONFLICTS" value="true" />
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<option name="HIGHLIGHT_NON_ACTIVE_CHANGELIST" value="false" />
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@ -21,15 +23,15 @@
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<option name="hideEmptyMiddlePackages" value="true" />
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<option name="showLibraryContents" value="true" />
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</component>
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<component name="PropertiesComponent"><![CDATA[{
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"keyToString": {
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"RunOnceActivity.OpenProjectViewOnStart": "true",
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"RunOnceActivity.ShowReadmeOnStart": "true",
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"git-widget-placeholder": "master",
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"nodejs_package_manager_path": "npm",
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"vue.rearranger.settings.migration": "true"
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<component name="PropertiesComponent">{
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"keyToString": {
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"RunOnceActivity.OpenProjectViewOnStart": "true",
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||||
"RunOnceActivity.ShowReadmeOnStart": "true",
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||||
"git-widget-placeholder": "master",
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||||
"nodejs_package_manager_path": "npm",
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"vue.rearranger.settings.migration": "true"
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}
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}]]></component>
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}</component>
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<component name="RunManager">
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<configuration name="start" type="PythonConfigurationType" factoryName="Python" temporary="true" nameIsGenerated="true">
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<module name="notebook" />
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@ -76,6 +78,7 @@
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<option name="presentableId" value="Default" />
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<updated>1725513042181</updated>
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<workItem from="1725518275042" duration="21000" />
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<workItem from="1725532958825" duration="34000" />
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</task>
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<servers />
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</component>
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@ -25,7 +25,7 @@ $$
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**例如：**
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设有矩阵 \( A \) 和 \( B \)，如下：
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$$
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A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
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A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ \ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ \ 7 & 8 \end{pmatrix}
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$$
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**乘法：**
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@ -0,0 +1,192 @@
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### 二叉树
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二叉树是一种基础的数据结构，因其简单性和应用的广泛性，深入理解二叉树是掌握许多高级数据结构和算法的基础。以下是对二叉树及其相关知识的更深入讲解。
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#### 1. 二叉树的基本性质
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- **节点的度（Degree of a Node）**: 节点的度是该节点的子节点数。在二叉树中，每个节点的度最多为2。
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- **树的深度（Depth of a Tree）**: 树的深度是指从树的根节点到最深叶子节点的最长路径上边的数量。
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- **层次（Level）**: 树中某个节点的层次由根节点开始计算，根节点的层次为1，其子节点的层次为2，以此类推。
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- **叶子节点（Leaf Node）**: 叶子节点是没有子节点的节点。在许多算法中，叶子节点的处理通常是终止条件之一。
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- **满二叉树（Full Binary Tree）**: 所有节点的度要么是0（叶子节点），要么是2。
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- **完全二叉树（Complete Binary Tree）**: 完全二叉树是一种特殊的二叉树，其中每一层除了最后一层之外都是满的，并且最后一层的所有节点尽可能地集中在最左边。
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```markdown
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完全二叉树的示例：
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```
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```plaintext
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1
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/ \
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2 3
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/ \ /
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4 5 6
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```
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#### 2. 二叉树的表示方式
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- **链式表示（Linked Representation）**: 每个节点包含数据元素和指向其左、右子节点的指针。它非常灵活，可以处理动态增长的树。
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```cpp
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struct TreeNode {
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int val;
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TreeNode* left;
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TreeNode* right;
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TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
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};
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```
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- **顺序表示（Sequential Representation）**: 使用数组存储二叉树节点。对于节点在数组中的位置`i`，其左子节点在位置`2*i + 1`，右子节点在位置`2*i + 2`。
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```markdown
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顺序表示的示例：
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```
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```plaintext
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1
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/ \
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2 3
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/ \ \
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4 5 6
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数组表示：[1, 2, 3, 4, 5, null, 6]
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```
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#### 3. 二叉树的遍历
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遍历是指按照某种顺序访问二叉树的所有节点。遍历方式分为深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）。
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- **深度优先遍历（DFS）**: 包括前序、中序、后序遍历，它们的区别在于根节点的访问顺序。
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- **前序遍历（Preorder Traversal）**: 根 → 左子树 → 右子树。
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- **中序遍历（Inorder Traversal）**: 左子树 → 根 → 右子树。
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- **后序遍历（Postorder Traversal）**: 左子树 → 右子树 → 根。
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- **广度优先遍历（BFS）**: 层序遍历是一种广度优先遍历方法，它逐层访问树的节点。
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```markdown
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树的层序遍历：
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```
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```plaintext
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1
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/ \
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2 3
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/ \ \
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4 5 6
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层序遍历顺序：[1, 2, 3, 4, 5, 6]
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```
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#### 4. 二叉搜索树（BST）
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二叉搜索树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：
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- 对于每个节点，左子树中所有节点的值小于该节点的值，而右子树中所有节点的值大于该节点的值。
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- 中序遍历BST会得到一个递增的有序序列。
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##### 二叉搜索树的基本操作
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1. **查找（Search）**: 从根节点开始，如果目标值小于当前节点值，进入左子树；如果目标值大于当前节点值，进入右子树；如果目标值等于当前节点值，则查找成功。
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2. **插入（Insert）**: 从根节点开始，根据值的大小决定插入位置。插入的新节点始终是叶子节点。
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```cpp
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TreeNode* insert(TreeNode* root, int val) {
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if (!root) return new TreeNode(val);
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if (val < root->val)
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root->left = insert(root->left, val);
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else
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root->right = insert(root->right, val);
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return root;
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}
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```
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3. **删除（Delete）**: 删除节点后，需要调整树的结构以保持BST的性质。删除节点有三种情况：
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- 叶子节点：直接删除。
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- 有一个子节点：用该子节点代替删除的节点。
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- 有两个子节点：找到右子树中的最小节点，替换要删除的节点，然后删除该最小节点。
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```cpp
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TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int val) {
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if (!root) return nullptr;
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if (val < root->val)
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root->left = deleteNode(root->left, val);
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else if (val > root->val)
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root->right = deleteNode(root->right, val);
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else {
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if (!root->left) return root->right;
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if (!root->right) return root->left;
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TreeNode* minNode = findMin(root->right);
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root->val = minNode->val;
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root->right = deleteNode(root->right, minNode->val);
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}
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return root;
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}
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TreeNode* findMin(TreeNode* root) {
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while (root->left) root = root->left;
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return root;
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}
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```
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#### 5. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）
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平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，左右子树的高度差不超过1。常见的平衡二叉树包括以下几种：
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- **AVL树**: 通过旋转操作来保持平衡的二叉搜索树。插入和删除操作后，AVL树会进行调整，使得任意节点的左右子树高度差不超过1。
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- **红黑树**: 一种自平衡二叉搜索树，具有五条性质：
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1. 节点是红色或黑色。
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2. 根节点是黑色。
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3. 所有叶子节点（`null`节点）是黑色。
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4. 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点都是黑色（即不能有两个连续的红色节点）。
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5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径包含相同数目的黑色节点。
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#### 6. 二叉树的高级应用
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- **表达式树（Expression Tree）**: 使用二叉树表示算术表达式。叶子节点表示操作数，内部节点表示操作符。可以通过树的遍历顺序来实现表达式的前缀、中缀和后缀表示。
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表达式：((a + b) * (c - d)) 可以表示为：
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```
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```plaintext
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*
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/ \
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+ -
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/ \ / \
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a b c d
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- **霍夫曼树（Huffman Tree）**: 霍夫曼树是一种用于数据压缩的二叉树。它是一棵加权路径长度最短的二叉树，通常用于霍夫曼编码。
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- **二叉堆（Binary Heap）**: 一种完全二叉树，通常用来实现优先队列。最常见的是最大堆（Max Heap）和最小堆（Min Heap），其中最大堆的每个节点都大于等于其子节点，最小堆则相反。
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#### 7. 二叉树的存储与实现
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二叉树可以通过链式存储和顺序存储来实现。链式存储适用于一般的二叉树和动态数据结构，顺序存储则更适合完全二叉树。
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##### 链式存储实现
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```cpp
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struct TreeNode {
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int val;
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TreeNode* left;
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TreeNode* right;
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TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
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};
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```
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##### 顺序存储实现
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```cpp
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// 顺序存储的数组表示
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vector<int> binaryTree = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
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```
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@ -16,6 +16,8 @@ nav:
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- 数学基础:
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- 进制转换: basic/math/进制转换.md
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- 矩阵运算: basic/math/矩阵运算.md
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- 数据结构:
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- 二叉树: data_structure/二叉树.md
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- 电子学会考级（机器人）:
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- 历史人物: 电子学会考级/历史事件及人物.md
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